y=1/xの接線の求め方は?y=1/xの微分のやり方は?グラフは?【y=x^-1】

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数学の問題を解いたり、科学的な解析を行ったりする際に、よくイメージしにくい曲線が出てくることがあります。

例えば、代表的な曲線としてy=1/xというものがありますが、この数式のグラフやその接戦の方程式(微分の方法)などについて理解していますか。

ここでは、y=1/xを微分するとどうなるのか、y=1/xの曲線の接線はどうなるのか?グラフはどうなるのかについて解説していきます。

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y=1/xの微分を行ってみよう【y=x^-1】

それでは、まず数式y=1/xの微分を行ってみましょう。

y=1/xは別の計算式では、y=x^-1と記載できることを考えますと、この微分y’=’(x^-1)’ = -1 (x^-2)=-1/x^2となるのです。

微分では、肩についている係数(累乗の数値)が頭に出てきて、元の肩の係数の数値が一つ小さくなることを理解しておくといいです。

y=1/xの接線を計算してみよう【y=x^-1】

続いて、1/xにおける接線の方程式を求めていきましょう。

上にて1/xにおける微分を行いましたが、実はこの接戦いおける傾きがこの計算式の結果に相当します。

このとき、例えばy=1/x上の点、(a,1/a)を通るとすると、この点における1/xの接戦の式は、y= -1/a^2 x +k とおけます。

ここで、x,y=(a,1/a)を通る際のkを逆算していくと、 k= 1/a + 1/a =2/aと求めることができます。

すると、y=1/x上の点、(a,1/a)状の接線の式は、y= -1/a^2 x +2/aと計算できました。

数値計算もしてみよう

なお、記号aではなく実際の数でも計算を行ってみましょう。

・例題1

Y=1/xにおいてx=2における接線の方程式はいくらとなるでしょうか。

・解答1

上の公式にあてはめると、 y= -1/4 x + 1となります。

Y=1/xのグラフは?【y=x^-1】

このY=1/xのグラフを描くには、一つずつプロットしていくのがいいです。

例えば、(1,1)、(2、1/2)、(3、1/3)、(1/2、2)・・・と考えていくわけです。なお、んお数値が(-1、-1)もありうることを考慮しますとy=1/xを満たすグラフは以下のようになります。

なお、xが正などと範囲指定されているケースでは、その通りに対応していきましょう。

まとめ Y=1/xの接戦の求め方(微分の方法)やグラフは?【y=x^-1】

ここではY=1/xの接戦の求め方(微分の方法)やグラフは?【y=x^-1】について解説しました。

・y=1/xを微分した形はy’=’(x^-1)’ = -1 (x^-2)=-1/x^2

・y=1/x上の点、(a.1/a)状の接戦の式は、y= -1/a^2 x +2/a

・Y=1/xのグラフを書く際は実際に通る点を考慮し、なめらかな曲線を引いていく

といいです。

Y=1/x(y=x^-1)などのの方程式の扱いに慣れ、各種計算方法をマスターしていきましょう

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