v^2-v0^2=2axの証明(導出)や使い方【2ax=v^2-v0^2の両辺微分(時間で微分)から計算】

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物理を得意にするためには、代表的な公式やその証明(導出)方法について理解しておくことが大切です。

例えば、力学の等加速度運動における変位の公式としてv^2-v0^2=2ax(v^2-v0^2=2as)がありますが、この意味や証明(導出)方法について理解していますか。

ここでは、このv^2-v0^2=2axとは何か、等加速度運動における変位の公式のv^2-v0^2=2ax(2ax=v^2-v0^2)の両辺微分の形から証明(導出)する方法について解説していきます。

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v^2-v0^2=2ax(v^2-v0^2=2as)の意味は?【等加速度運動における変位】

それでは、まずv^2-v0^2=2axという公式とはどのような意味なのかについて解説していきます。

v^2-v0^2=2axとは、等加速度運動における変位と速度、加速度の関係式です。時間に依存しないのがこの公式の特徴といえます。

具体的には、xはある時刻tにおける変位[m]、vはある時刻tにおける速度[m/s]、v0は初速度[m/s]、aは加速度[m/s^2]を示しています。

ここで、単位は例として上のものを記載していますが、mではなくkm、sではなくmin(分)等を使用するケースもあることを理解しておくといいです。

v^2-v0^2=2ax(2ax=v^2-v0^2)ではなく、変位の記号として「s」を使用することもあり、この場合はv^2-v0^2=2asとも記載することを覚えておきましょう。

このv^2-v0^2=2axの意味としては、等加速度運動においてある時刻tにおける速度vと初速度v0、加速度aがわかっていれば、変位xが求められる便利な式といえます。

なお、時間の項を含む場合の等加速度運動の公式x=v0t+1/2at^2についてはこちらで記載しているので参考にしてみてください。

v^2-v0^2=2axの証明(導出)【両辺微分(時間の微分)の形からの証明】

それでは今度はこの等加速度運動における公式のv^2-v0^2=2axの証明(導出)方法についても確認していきます。

まず、速度vは位置を微分したもののため、v=dx/dtと表現することができます。

同様に加速度aは速度vを微分したものであるため、a=dv/dtと求めることができるわけです。ここで時間の項を=で結ぶと、dx/v=dv/aと式変形できることから、 vdv = adx となります。

この両辺が微分された形から積分を行い、その積分区間をv0からvまで、0~xまでとしてみましょう。

すると、1/2v^2-1/2v0^2=axとなることかから、2ax=v^2-v0^2が導出(証明)されました。

重要な公式のため、この機会に理解しておきましょう。

v^2-v0^2=2axの使い方を例題を用いて解説【計算問題】

それでは、この2ax=v^2-v0^2の公式の使い方について練習問題を通して解説していきます。

・例題1

ある等加速度運動をしているボールの初速度は1m/sであり、ある時刻tにおける速度は5m/2であった。加速度が2m/s^2である場合の時刻tにおけるボールの変位xはいくらになるでしょうか。

・解答1

v^2-v0^2=2axの公式そのものに代入していきます。

すると、 5^2 - 1^2 = 2×2×Xとなることから、4x = 24 より x = 6mと求めることができました。

これが、v^2-v0^2=2axの使い方といえます。

まとめ v^2-v0^2=2axの使い方や両辺微分の式からの証明(導出)

ここでは、等加速度運動における変位の公式のv^2-v0^2=2axとは何か、v^2-v0^2=2ax

の証明(導出)の証明方法、について確認しました。

この等加速度運動における変位の公式やその証明(導出)方法は力学を学ぶ上でとても重要なので、この機会に理解しておくといいです。

各種物理に関する公式をマスターし、物理を楽しんでいきましょう。

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