v=v0+atの証明(導出)方法や微分・積分をしたらどうなるか?【加速度と速さの関係:v=v0+at^2は間違い?】

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物理を得意にするためには、代表的な公式やその証明(導出)方法について理解しておくことが大切です。

例えば、力学の等加速度運動の公式のv=v0+atがありますが、この意味や証明(導出)方法について理解していますか。

ここでは、このv=v0+atとは何か、v=v0+atの証明方法、v=v0+atを微分・積分するとどうなるかについて解説していきます。

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v=v0+atと加速度や速度の関係【v=v0+atとは?】

それでは、まずv=v0+atという公式とはどのような意味なのかについて解説していきます。

v=v0+atの公式において、vはある時刻tにおける速度[m/s]、v0は初速度[m/s]、aは加速度[m/s^2]、tは時間[s]を示しています。

ここで、単位は例として上のものを記載していますが、mではなくkm、sではなくmin(分)等を使用するケースもあることを理解しておくといいです。

このv=vo+atの全体の意味としては、ある時刻tの速度は初速度に加速度と時間の積を足したものといえます。つまり、初速度が1m/sで加速度(時間あたりの速度の変化の度合い)が2m/s^2であれば、1秒後には1 + 2×1 = 3m/sの速度になっているわけです。

v=v0+atの証明(導出)の方法【v=v0+at^2は間違い】

今度は、このv=v0+atの公式の証明(導出)方法についても確認していきます。

ある時刻t1とt2(t2>t1)における速度を各々v2とv1とします。

すると、加速度aの定義は速度の変化分ともいえるため、 a = (v2 ー v1) / (t2 ー t1)と表せます。

ここで、V2=v、V1=V0とおくと、対応してt2=t、t1=0となるため、a= v – v0 / tと表現されます。これを式変形しますと、at = v ー v0 ⇔ v = v0 + atの式が証明されるのです。

なお、v=v0+at^2は間違いと最後に2乗がついたものを公式と間違えている方もいますが、これは変位の公式と上の公式が混ざっているもので誤りですので、注意しましょう。

v=v0+atと微分・積分の関係

なお、v=v0+atが関係する公式としてx=v0t+1/2at^2というものがあり、各々微分・積分の関係となっているのです。

具体的には、速度v=v0+atを時間tにおいて積分したものが、位置x=v0t+1/2at^2となるわけです。

v=v0+atの右辺をtで積分しますと、 v0t + 1/2at^2 =x そのものとなるのがわかるでしょう。なお、図で確認すると、以下のような台形の面積がこのv0t + 1/2at^2 に対応していると理解しておくといいです。

逆に位置x= v0t + 1/2at^2 を微分すると、v=v0+atにも変換できます。

まとめ v=v0+atと微分・積分の関係と公式の意味

ここでは、このv=v0+atとは何か、v=v0+atの証明方法、v=v0+atを微分・積分するとどうなるかについて確認しました。

この速度と加速度の関係の公式や証明方法、微分・積分の関係は力学を学ぶ上でとても重要なので、この機会に理解しておくといいです。

各種物理に関する公式をマスターし、物理を楽しんでいきましょう。

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コメント

  1. […] なお、こちらで等加速度運動における速度の公式v=v0+atについて解説しているので参考にしてみてください。 […]

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