1/2mv^2=mghの意味は?e=1/2mv^2+mghと力学的エネルギー保存則の計算問題

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物理を得意にするためには、代表的な公式やその証明(導出)方法について理解しておくことが大切です。

例えば、力学における力学的エネルギー保存則の公式としてe=1/2mv^2+mghがありますが、この意味や証明(導出)方法について理解していますか。

ここでは、このe=1/2mv^2+mghとは何か、1/2mv^2=mghの意味は何か?について解説していきます。

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e=1/2mv^2+mghと力学的エネルギー保存則

それでは、力学における重要な公式の一つの力学的エネルギー保存則について確認していきます。

e=1/2mv^2+mghとは、力学的エネルギー保存則の公式を表したものの一つといえます。具体的には、eは力学的エネルギー[J]、1/2mv^2は運動エネルギー[J]、mghは位置エネルギー[J]を表しています。

つまり、運動エネルギーと位置エネルギーの和=一定となることを表しているのがこの式なわけです。

なお、エネルギーの単位としてJ(ジュール)を使うことが基本ですが、たまにcal(カロリー)でで表示されているケースもあることに注意しましょう。

1/2mv^2=mghの証明(導出)方法は?【力学的エネルギー保存則】

続いて上の公式を元に、1/2mv^2=mghについて詳しく確認していきましょう。

・ある高さhで静止している質量mのボールを考える

それでは、まずある高さhで静止しているボールの力学的エネルギーを考えていきましょう。静止しているためv=0となることから運動エネルギー1/2mv^2も0となります。

なお、位置エネルギーはmghと記載できることから、の場合の力学的エネルギーe1= 0 + mgh = mghとなるわけです。

・高さ0で速度vで移動している質量mのボールを考える

今度は高さhで静止していたボールを自然落下させ、高さ0の位置に来た際の速度がvのボールのエネルギーを考えていきます。

今度は高さh=0となるため位置エネルギーmgh=0となります。一方で、このボールは速度が発生しているために、運動エネルギーも出ており、速さvの場合、1/2mv^2と表現できるのです。

よって、この際の力学的エネルギーe2=1/2mv^2 + 0 = 1/2mv^2となります。

・力学的エネルギー保存則より1/2mv^2=mghを導く

なお、力学的エネルギー保存則より常にeは一定となることから、e1 = e2 となるため、1/2mv^2=mghの式が導出されました。

もちろん、高さhにても速さvが存在する場合などは若干式が変化してきますが、基本的な考え方としては上述の通りであると理解しておきましょう

 

1/2mv^2=mghの計算問題【力学的エネルギーの公式e=1/2mv^2+mgh】

それでは今度はe=1/2mv^2+mghに関係する問題を解くことによって、この公式に理解を深めていきましょう。

・例題1

ある100gのボールを高さ3mから自由落下させた際の、地面でのボールの速さを計算してみましょう。

この時、重力加速度は9.8m/s^2を使用するとします。

 

・解答1

上の1/2mv^2=mghの公式に当てはめていきます。

すると、 100 × 9.8 × 3 = 1/2 × 100 × v^2 より、v = 約7.7mと求めることができました。

まとめ e=1/2mv^2+mghと力学的エネルギー保存則の計算問題

ここでは、このe=1/2mv^2+mghとは何か、1/2mv^2=mghの意味は何か?について解説しました。

力学的エネルギー保存則は力学を理解する上でとても重要な式であるため、きちんと理解しておくといいです。

各公式を理解し、より物理を得意にしていきましょう。

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