sin2θ=cosθ(sin2x=cosx)やsin2θ=sinθ(sin2x=sinx)の解き方は?sin2θ=sin3θ(sin2x=sin3x)の計算問題を解いてみよう

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数学の問題を解いたり、科学的な解析を行ったりする際に、よく三角関数の計算が必要となることが多いです。

中でも、三角関数を含んだ数式のグラフや微分の方法についての問題が出ることが多く、その解法について理解しておくといいです。

ここでは、この三角方程式の一つであるsin2θ=cosθ(sin2x=cosx)、sin2θ=sinθ(sin2x=sinx)、sin2θ=sin3θ(sin2x=sin3x)の解き方について解説していきます。

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sin2θ=cosθ(sin2x=cosx)の解き方は?【三角方程式】

それでは、三角方程式の代表であるsin2θ=cosθの計算方法について確認していきます。

ますsin2θは2倍角の公式により、sin2θ=2sinθcosθという公式が成立します。

つまり、上の問題の式はsin2θ=2sinθcosθ=cosθを解けばよく、この計算式を整理しますと、2sinθ=1を解けばいいこととなります。

2sinθ=1 ⇔ sinθ=1/2となることから0~360度の範囲においてθ=π/6(30°)、5π/6 (150°)が答えとなります。

三角関数の問題であっても、式を簡略化することが大切なのです。

sin2θ=sinθ(sin2x=sinx)の解き方は?【三角関数の計算問題】

それでは、sin2θ=sinθの解き方について確認していきます。

こちらも上のサインの2倍各の公式を活用することによって、sin2θ=2sinθcosθ=sinθという方程式に変換することができ、2sinθcosθ=sinθ⇔2cosθ=1 を解けばいいこととなります。

cosθ=1を満たす0~360度の範囲ではπ/3(60°)、5/3π(300°)となりこれが解答となるのです。

sin2θ=sin3θ(sin2x=sin3x)(0<θ<π/2)の計算問題を解いてみよう

なお、少し応用編としてsin2θ=sin3θの確認も行っていきます。数式変形の時に少し工夫しないとこれを解くのは難しいです。

上の範囲においてSin2θとsin3θの交点は一つであるため、答えは一つとわかります。

ここで以下の図よりsin2θ=sin(π-2θ)ともおけることを考えますと、π―2θ=3θと求めることができるのです。

これを解くと5θ=πよりθ=π/5と求めることができました。

まとめ sin2θ=cosθ(sin2x=cosx)やsin2θ=sinθ(sin2x=sinx)の解き方は?sin2θ=sin3θ(sin2x=sin3x)の計算問題を解いてみよう

ここでは、この三角方程式の一つであるsin2θ=cosθや、sin2θ=sinθ、sin2θ=sin3θの求め方について確認しました。

基本的には丁寧に式変形を行うことを意識すればいいです。単純な式変形では解を得るのが難しければ、式変形自体を工夫するといいです。

三角関数の計算に慣れ、もっと数学を楽しんでいきましょう。

 

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