y=e^x‌‌の接線の求め方は?y=e^x‌‌の微分の方法やグラフは?【y=e^axの微分は?‌‌】

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数学の問題を解いたり、科学的な解析を行ったりする際に、よくイメージしにくい曲線が出てくることがあります。

例えば、代表的な曲線としてy=e^xやy=e^ax‌‌というものがありますが、この数式のグラフやその接戦の方程式(微分の方法)などについて理解していますか。

ここでは、y=e^xやy=e^ax ‌‌を微分すると、どうなのるのか、接戦はどうなるのか?グラフはどうなるのかについて解説していきます。

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y=e^xやの微分を行ってみよう【y=e^axの微分はどうなるのか‌‌】

それでは、まず数式y=e^x‌‌の微分を行ってみましょう。

y=e^x‌‌の微分は定義そのものといえますが、元の数式と同じy=e^x‌‌のままとなります。これは定義ですので覚えるしかないです。

一方で、e^x上における乗数がaxと係数がついているものの微分では、y’=(e^ax)’ = (ax)’ e^ax となるため、y= e^axを微分したものは、a e^axと求めることができるのです。

y=e^x‌‌の接線を計算してみよう

続いて、y=e^xにおける接線の方程式を求めていきましょう。

上にて、y=e^xにおける微分を行いましたが、実はこの接線における傾きがこの計算式の結果に相当します。

つまり、y=e^x上の点x=bにおける接線の式は、y= e^b × b +k とおけます。ここで、(x,y)=(b,e^b)通る際のkを逆算していくと、 k = e^b ー b×e^b =(1ーb)e^b と求めることができます。

すると、y=e^x‌‌上の点、(b, e^b)上の接線の式は、y= e^b x +(1-b)e^bと計算できました。

数値計算もしてみよう

なお、記号bではなく実際の数でも計算を行ってみましょう。

・例題1

y=e^x‌‌においてx=0における接線の方程式はいくらとなるでしょうか。

・解答1

上の公式にあてはめると、接線の式はy= e^0 x +(1-0)e^0=y = x + 1 と計算できます。

y=e‌‌^xのグラフはどうなる?

このy=e^x‌‌のグラフを描くには、一つずつプロットしていくのがいいです。

例えば(0,1)、(1,e)、(-1,1/e)などとなり、特徴はすべてのxの範囲において、yは正の数値となることです。

なお、正確なグラフを作成したい際にはexcelやpythonなどのツールを活用するのがおすすめです。

まとめ y=e^x‌‌の接戦の求め方(微分の方法)やグラフは?【y=e^axでは?‌‌】

ここではy=e^x‌‌の接戦の求め方(微分の方法)やグラフは?【y=e^axでは?‌‌】

について解説しました。

・y=e^x‌‌を微分した形はy=e^x‌‌
・y=e^ax‌‌を微分した形はy=ae^ax‌‌
・y=e^x‌‌上の点、(b, e^b)状の接戦の式は、y= e^b  x +(1-b)e^b
・y=e‌‌^xのグラフを書く際は実際に通る点を考慮し、なめらかな曲線を引いていく

といいです。

y=e^x‌‌やy=e^ax‌などの方程式の扱いに慣れ、各種計算方法をマスターしていきましょう。

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