cos2θ=cosθ(cos2x=cosx)やcos2θ=sinθ(cos2x=sinx)の解き方は?cos2θ=cos3θ(cos2x=sin3x)の計算問題を解いてみよう

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数学の問題を解いたり、科学的な解析を行ったりする際に、よく三角関数の計算が必要となることが多いです。

中でも、三角関数を含んだ数式のグラフや微分の方法についての問題が出ることが多く、その解法について理解しておくといいです。

ここでは、この三角方程式の一つであるcos2θ=cosθ(cos2x=cosx)や、cos2θ=sinθ(cos2x=sinx)、cos2θ=cos3θ(cos2x=cos3x)の求め方について解説していきます。

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cos2θ=cosθ(cos2x=cosx)(0<θ<π)の解き方は?【三角方程式】

それでは、三角方程式の代表であるcos2θ=cosθの解き方について確認していきます。この時cos2x=cosxなどと記載される場合もありますが、θとxで表記のみが違うだけで意味は同じです。

ますcos2θは2倍角の公式によりcos2θ=2cos^2θ―1と変換できます。

つまり、上の問題の式はcos2θ=2cos^2θ-1=cosθを解けばいいわけです。cosθ=xとおくと、2x^2 – x ー1 =0と式変形できるのでこれを因数分解していきましょう。

2x^2 – x ー1 =0 ⇔(2x+1)(xー1)となり、その解はx=ー1/2 もしくは1となります。

x=cosθ=ー1/2の場合θ=2π/3、4π/3 、x=ー1のときθ=0と計算することができるのです。

式変形が特に重要なポイントですね。

三角関数の問題であっても、式を簡略化することが大切なのです。

cos2θ=sinθの解き方は?【三角関数の計算問題】

それでは、cos2θ=sinθの解き方について確認していきます。

こちらも上のコサインの2倍角の公式(今回はサインを元に考えていくので1ー2sin^2θを活用)を活用することによって、cos2θ=1ー2sin^2θ=sinθという方程式に変換することができ、2sin^2θ+sinθー1=0 を解けばいいこととなります。

sinθ=tとおくと、2t^2 + t -1=(2tー1)(t + 1)より、t=1/2、ー1 となります。

t=1/2の場合、θ=π/6、5π/6 、x=-1のときθ=3π/2と計算することができるのです。

cos2θ=cos3θ(0<θ<π/2)の計算問題を解いてみよう

なお、少し応用編としてcos2θ=cos3θの確認も行っていきます。

この問題の場合は三角関数の和積の公式より計算していくといいです。

具体的には、cos2θ=cos3θ ⇔ cos3θ―cos2θ=2sin((3θ+2θ)/2))* sin((3θ―2θ)/2)=0

から、sin(5θ/2) sin(θ/2)=0となるθを解けばいいわけです。

よって、θ=0、2π/5、2πが答えとなります。

まとめ cos2θ=cosθやcos2θ=sinθ解き方は?cos2θ=cos3θの計算問題を解いてみよう

ここでは、この三角方程式の一つであるcos2θ=cosθや、cos2θ=sinθ、cos2θ=cos3θの求め方について確認しました。

基本的には丁寧に式変形を行うことを意識すればいいです。単純な式変形では解を得るのが難しければ、式変形自体を工夫するといいです。

三角関数の計算に慣れ、もっと数学を楽しんでいきましょう。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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